[수학교육] 수학의 기초와 기본 개념

2. 유클리드 원론
◎ 유클리드의 정의, 공리, 공준
◎ 유클리드 기하의 논리적인 결함

3. 비유클리드 기하
◎ 비유클리드 기하학의 발견
◎ 비유클리드 기하학의 무모순성과 중요성

4. 힐베르트의 기초
◎ 힐베르트의 기하학의 기초
◎ 해석 기하학
◎ 사영 기하학과 쌍대성 원리

5. 대수적 구조
◎ 대수적 구조의 출현
◎ 대수학의 해방
◎ 군
◎ 대수학과 기하학에서 군의 중요성

6. 형식적 공리학
◎ 형식적 공리학의 양식
◎ 공준 집합의 성질

7. 실수 체계
◎ 실수 체계에 대한 공준적 접근
◎ 자연수와 수학적 귀납법
◎ 정수와 유리수
◎ 실수와 복소수

8. 집합
◎ 불 대수학
◎ 무한집합과 초한수
◎ 집합과 수학의 기본 개념

9. 논리학과 철학
◎ 기호 논리학
◎ 명제 계산
◎ 수학의 기초에서의 위기
◎ 수리

경험주의 방법과 시행착오

귀납법: 항상 참인 어떤 현상에 대한 한정된 수의 경우에 근거해서 결론을 내리는 이런 형태의 추론을 귀납법이라 한다. 경험적인 결론은 종종 유추법이라 부르는 초보적인 형태의 귀납법을 사용해서 얻을 수 있다. 유추법은 확실히 쓸모가 있지만 분명히 이것의 결론은 증명으로 간주될 수 없다.
연역법: 일반적으로 인정된 명제들로부터 논리적으로 유도된 명제를 받아들일 수밖에 없게 만드는, 새로운 명제를 유도하는 방법이라 설명할 수 있다. 연역법에서는 결론의 진심됨에 관심을 두는 것이 아니라, 그 결론이 전제들로부터 유도되는지 아닌지에 관심을 두고 있다는 사실을 인식하는 것이 매우 중요하다.

◎ 고대 그리스 수학과 연역적 과정의 도입
기원전 600년부터 400년 사이의 그리스 사람들이 수학적인 지식을 증명하는 데 있어서 경험적인 방법을 버리고 모든 수학적인 결론은 반드시 연역법에 의해서만 증명되어야 한다고 결정한 이유에 대한 완전하고 적절한 설